Courbe du dragon : du pliage à la fractale

L'algorithme de construction de cette courbe fractale (voir aussi cet autre article) est très simple : plier une bande de papier en 2, replier à nouveau en 2 autant de fois que souhaitées puis déplier en prenant soin d'ouvrir chaque pli à angle droit.
Le résultat obtenu réserve alors quelques surprises : la bande de papier ainsi dépliée rentre parfois en contact avec elle même mais sans jamais "traverser", quelque soit le nombre de pliages les courbes se ressemblent toutes (un dragon avec de l'imagination), on peut s'en servir pour paver le plan (recouvrir sans superposition et sans laisser de trou), ...

Vous trouverez, dans la suite de l'article, des photos et des animations pour mieux
comprendre ainsi qu'une petite vidéo de sa réalisation avec géotortue.

Sur la photo ci-dessous, l'illustration du principe de pliage en 2 (en haut) / dépliage en angle droit (en bas).

Ci-dessous, les itérations 4 à 7 sont réalisées avec du papier et les deux dernières sur ordinateur (10ème avec DGPad et 16ème avec géotortue).
dragon_etape4.jpgdragon_etape5.jpgdragon_etape6.jpgdragon_etape7.jpgdragon_etape10.jpgdragon_etape16.jpg

Déplacez, ci-dessous, le curseur "Dépliage" pour animer la figure. Vous pouvez activer la "Réduction automatique" ou diminuer la "Longueur" pour mieux voir.

L'utilisation d'un quart de tour est parfaitement adaptée à un logiciel de géométrie dynamique comme DGPad (voir ci-dessus). Cependant, pour aller plus loin dans les itérations, un logiciel comme géotortue sera plus efficace d'autant plus que la courbe du dragon se prête particulièrement bien à une programmation récursive (voir ce précédent article où le principe est abordé). En effet, pour obtenir une nouvelle étape, il suffit d'ajouter à la fin de l'étape précédente un quart de tour à droite (TD 90 dans géotortue) puis de refaire le trajet précédent à l'envers en inversant les TD et les TG (voir la construction faite à la main en fin d'article ou l'article sur wikipédia). On obtient alors la vidéo de gauche pour 13 itérations et la copie d'écran à droite après 16 itérations :


Réussir à paver le plan avec un carré ou un rectangle n'est pas surprenant, ça l'est un peu plus avec d'autres quadrilatères (voir cet article ou encore celui-ci), mais avec des "dragons" c'était beaucoup plus difficile à prévoir :
Déplacez, ci-dessus, le curseur "Dragon" pour faire apparaître 3 dragons de plus qui vont s'"emboiter" parfaitement, vous pouvez aussi plier et déplier pour constater que cela n'a aucune incidence sur ce début de pavage (la figure sera beaucoup plus fluide avec chrome qu'avec firefox). Une fois dépliés, il est également possible de déplacer les dragons à l'aide du point central pour vérifier qu'ils s'emboitent de différentes manières (pincer ou utiliser la molette de la souris pour réduire ou augmenter la taille).

Pour les plus téméraires, la photo ci-dessous, montre comment réaliser la construction avec simplement une feuille et un crayon :
  • yvesRUN

    Juste fabuleux ce dragon à la tortue et à DGPad ...
    Deux belles approches, bien différentes.
    Merci d'autant nous inspirer avec tes publications régulières

    il y a environ 2 ans
  • Le monde fabuleux des fractales !
    On en retrouve beaucoup dans le monde vivant. Prenez par exemple le choux romanesco, le réseau des bronchioles pulmonaires, les villosités de l'intestin grêle, les branches des arbres, la feuille des fougères. On retrouve un même motif répété à différentes échelles. Cela permet de remplir un maximum d'espace avec un minimum de matière tout en utilisant peu d'information pour organiser tout cela. C'est fascinant et souvent très beau!

    il y a environ 2 ans

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