Des mathématiciens et des artistes (voir en particulier ce diaporama concernant le travail de M. C. Escher qui s'est aussi intéressé aux objets impossibles) ont étudié les différentes façons de paver le plan (recouvrir une surface sans trou ni superposition avec un même motif). Les sols de nos maisons mettent en évidence que c'est très facile avec des carreaux de carrelage rectangulaires mais la symétrie centrale, étudiée en 5ème, permet de le faire avec un quadrilatère quelconque. Vous trouverez dans la suite de l'article une figure dynamique qui devrait vous en convaincre ainsi que quelques productions d'élèves de 5ème.
Si vous voulez en savoir plus et vous amuser avec des pavages plus recherchés, je vous conseille les animations du palais de la découverte
ainsi que le fabuleux site Mathématiques Magiques (cliquez à gauche sur Magie puis essayez les liens situés sous "ARTS ET MATHS PAVAGES").
Le pavage suivant est réalisé à l'aide de symétries centrales successives : un quadrilatère vert et un quadrilatère rouge qui se "touchent" sont symétriques par rapport au milieu de leur côté commun. Vous pouvez compléter le pavage en déplaçant le curseur vers la droite ou modifier le quadrilatère de départ en déplaçant les sommets A, B, C et D.
Cette figure est à présent réalisée avec DGPad. Dans la version précédente, réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique CaRMetal, les constructions avaient été automatisées à l'aide de ce CaRScript (une vingtaine de lignes seulement si on enlève les commentaires).
Pour réaliser ces pavages il faut connaître la symétrie centrale que l'on enseigne au collège en 5ème (alors qu'en 6ème on ne retravaille que la symétrie axiale déjà rencontrée en primaire). Il te faudra donc attendre un peu...
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